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教师资格考试中学数学学科学习知识

作者:91tsaccp | 发布时间:2020-10-11 11:42:37 | 浏览次数:

数学学科知识

数与代数

实数

有理数

无理数

性质和运算

代数式

概念性质和基本运算

方程

一元二次 ,一元一次组

不等式

一元二次 ,一元一次组

函数

一元一次 ,反函数 ,一元二次

图形与几何

图形性质

探索 ,证明

图形变化

图形与坐标

统计与概论

数据分析过程

处理较复杂的数据

数据分析方法

整理描述分析 ,方差 ,众数等

随机性

每次数据不同

大量数据有规律

概率

发生结果的相同性

综合与实践

问题以载体 ,自主学习

发现提出问题

分析解决问题

交流合作

反思

求知欲

克服困难勇气

数学价值

科学态度

初中阶段的十个核心概念 :数感;符号意识 ,空间观念 ,几何观念 ,数据分析观念 ;运算

能力 ,推理能力;模型思想;创新思想 (提出问题 ,独立思考 ,归纳验证 );应用意识 。

义务教育阶段数学课程总目标

获得适应生活必要的知识技能思想和经验

体会数学与生活 ,其他学科的联系 。分析解决问题能力培养 。

了解数学价值 ,增加兴趣 ,信心 ,爱好。

 养成良好习惯 ,初步形成科学态度 。

数学在义务教育的地位 。

义务教育具有基础性发展性和普及性 。

数学课程能使学生掌握以后生活工作必备的基本知识 ,基本技能 ,思想方法;抽象能力和

推理能力;促进情感态度价值观健康发展 。为今后的生活 ,学习打下基础 。

二次根式 :就是开根号

目标 :

了解意义 ,掌握字母取值问题 ,掌握性质灵活运用

通过计算 ,培养逻辑思维能力

领悟数学的对称性和规律美 。

重点 :根式意义;难点 ;字母取值范围

勾股定理

探索证明的基础上 ,联系实际 ,归纳抽象 ,应用解决实际问题 。

通过探索分析归纳过程 ,提高逻辑能力和分析解决问题能力 。

数学好奇心 ,热爱数学 。

重点 :应用

难点 :实际问题转化为数学问题

平行四边形及性质

经历探索平行四边形性质和概念 ,掌握性质 ,能够判别

体会操作转化的思想过程 ,积累问题解决的 思想 。

与他人交流 ,积极动手的习惯

四边形内角和 :

量角器;内部做三角形;按照边做三角形 ;按照定点做三角形 。

一次函数和二元一次方程的关系 。数形结合

数学思想为主体 ;问题为贯穿;数形结合为工具 ;提高问题解决能力 。

数学课程理念

内涵 :人人获得良好数学教育 ,在数学上得到不同发展

内容 :符合数学特点 ,认知规律 ,社会实际 。

 层次性和多样性 。间接与直接 。

过程 :师生交往

评价 :多元发展

信息技术与课程 :现在信息技术改进教学方法 ,资源 。

信息技术开发资源 ,注重整合

教学方式的改善

理解原理的基础上 ,利用计算器 ,计算机

不能完全替代原有的有段 。

合情推理 :根据已有的 , 践 果 ,直 等推 某些 。便于 。( 法 :

n=1 和 n 大于 1 成立的 明 )

演 推理 :根据已有的 , 格按照 行推理 ,用于 明 。

 从一般到特殊直接 明 :原命 直接逐步推理的到新命 。

 接 明 :反 法

数学教学目 明确解决三个 : 什么学 数学 , 当学那些 ,将 学生 来什么 。

数据 程核心概念

数感 ,符号意 , 空 概念 ,几何 念 ,数据分析 念 ,运算能力 ,推理能力 ,模型思想 , 用意 , 新意 。

述 :数学学科内涵是影响数学 程的主 因素

,以一元二次 述内涵的意 。

1)

数学本身的内涵即知 方法和意 。

2)

一元二次方程有关概念基本解法和其他知 的 系

,模型 用等 。

学科内涵作 教育任 ,学 中可能存在困 。

程性目 与 果性目 分析初中数学学段目 的知 技能 。

数与代数 :体 具体情景中数学符号的抽象 程 ,理解有理数 ,无理数 , 数 ,方程 ,函

数等;掌握必要的运算技能 ;探索 化 律 ,掌握表达方法 。包含了 程性和 果性目

体 探索 . 程性目 ;掌握 果性目

形与几何 :掌握三角形 ,平行 ,园,四 形基本性 判断 ,掌握基本作 技能 ,理解



探索 形 化 ,投影 ,理解坐 系和位置 。

 包含了包含了 程性和 果性目 。

 体 探索. 程性目 ;掌握 ,理解 果性目

与概率 :体 收集 理分析推断 程 ,理解抽 方法 ,体 用 本估 体 程 ;

一步 随机 象和概率 。

 包含了包含了 程性和 果性目 。

 体 探索 . 程性目;掌握 ,理解 果性目

函数集中安排在不等式方程学 后

不合理 ,函数学习不仅仅是 掌握知识本身 ,还有认识现象 ,解决问题的方法;函数知识本身的内涵不单纯的包括定理定义等 ,还有内部的联系 。

 代数 ,方程 ,不等数与函数的 系密切相关 ,认识过程要经历感性到理性的过程 ,不能 的抽象符号利用 。

例子 明 相关概念的教学重心 。

例如平均数 ,重心在于帮助学生理解内涵



,特点 ,可以表达的数据信息



,容易 生的

原因;而不是 的快速 算公示 。

合与 践在初中 程中的作用 , 一 。

自主学 以 体 ;将 合运用数与代数 , 形与几何 , 与概率等知 和方

法解决 。

 目的在与培养学生解决 的 意 , 新意 和 用意 等 。

有效的 了学生的 极性主 性 , 展学生个性 ,提高多方面能力 ,促 学生情感 度价 展 。

  丰富学生 ,形成 自然 ,学科 ,自我整体的 , 展 新 践精神 。

3)



数与代数 , 形与几何 , 与概率与 合 践内容都是数学 程的重要 成部分 ,

可以 堂上完成 ,可以内外 堂 合 。

与概率中数据随机性的内涵

同 的事情每次收集的数据可能不同;足 的数据可以 律 。

2)



例子 : 球 。。

  学生感悟数据是随机的 ,数据很多 又具有 定性出 多少次 。



,知道大概能

学 形与几何的重点是培养几何 明能力

形与几何的内容包括 形的性 , 化和坐 。

 其中 明性 知 其中一部分 。

 其他两方面也很重要 ,例如 。。。。

例子 明 堂教学 生状况 理情况

1)

在 理状况 将情感 度目 落

2)

例如 :学生 又不努力改正

,教 要求学生字句独立完成修改

;自己 自己

的事情 ;并且相信学生能 完成

,增加学生改正 的自信心 。

3)

例如 :学生不能正确回到

,要引 ,不能 的打断 回答

,要 学生理解

自己哪里的理解认识是错误的 ,而不是简单的否定 。

数学教学中预设与生成的关系

1) 教学方案是预设 ,老师要理解钻研在钻研理解 ,以《义务教育数学课程标准 》为依据 ,把握教材编写意图 ,和内容的教育价值 。

对教材的再创造 ,根据班级实际情况 ,选择贴切的教学素材和教学流程 ,体现基本理念和内容规定的要求 。

教学活动 :将预设转为实际活动 ,会生成新的资源 ,要求老师即时把握 ,因势利导 ,即时调整 ,使活动收到更好的效果 。

面向全体与关注个性差异的关系

努力让全体达到目标要求 ,同时关注差异 ,促进在原有基础上发展 。

有苦难的 ,即时帮助 ,鼓励自己解决问题 ,点滴进步给予肯定;耐心引导错误原因 ,增加信心 。

有余力的学生 ,提供足够的思维空间和材料 ,发展才能 。

方式多样化 ,评价多样化 ,问题情境 ,主动参与 ,交流合作 。

合情推理与演绎推理

1) 推理贯穿于整个数学教学的始终 ,形成和提高是一个长期的循序渐进的过程 。

年龄不同程度不同 ,注重条理性 ,不要过分强调形式 。

推理包括合情和演绎推理 。

设计适当的活动 ,通过观察 ,类比等发现规律 ,猜测结论 ,发展合情推理能力;通过实例让学生逐步意识到 ,结论的正确性需要演绎推理的确认 。

5)



合情推理和演绎推理是相辅相成的 。

 证明的教学应关注学生对证明必要性的感受 ,对证明基本方法 掌握和体验 。

 证明过程应注重符合逻辑性 ,条理性 ,清晰性 。

 多种思路 。

举例说明教学活动中 ,如何引导积累数学活动 ,感悟思想

《义务教育数学课程标准 》建议 :引导学生积累经验 ,感悟思想 。

2)



例如分类是一种重要的数学思想 。

 数学学习中经常用分类问题 ,例如图形 ,代数式 ,函数分类等 。

实际问题中 :通过分类解决实际问题 ,理解共性和抽象过程 。

逐步体会怎么分类 ,如何分类 ,标准,性质 。

反复积累 ,才能逐步感悟思想 。

评语

以定性为主 ,实际上是一情感交流 ,学生阅读评语时 ,能够获得成功的体验 ,树立自信心 ,也能知道自己的不足和能力方向 。

评价形式

口头测试

书面测试

开放式问题研究

活动报告

课堂观察

课后访谈

作业

成长记录

数学思考评价的重心和重点

数学思考并非简单的知识 ,而是学生能力的发展 。

重心在于 :关注是否能进行思考 。

3)



重点 :用数学来表达交流信息;观察现象;运动数学进行推理有条理的表达自己观点 。



;根据特质推测 ,猜测;

书面测试注意事项

知识技能到达情况 。

 必须符合标准要求

选学内容不列入

基本技能要注重考察本质的理解和应用,不出怪题 ,淡化解题技巧

4) 设计试题 ,注重标准的思路核心词体验 :数感 ,符号意识 ,运算能力 ,模型能力 ,空

间观念 ,几何观念 ,推理能力数据 ,分析能力 。

根据评价目的合理设计

积极探索可以考察学生学习过程的试题

发现式教学

问题教学法 ,是布鲁纳提出的 。

 让学生主动发现问题解决 ,获取知识的教学方法 。

 从

学生的好奇 ,好学 ,好问 ,动手中提出在老师指导下 ,通过解决问题 ,引导学生像科

学家发现定理那样发现知识 ,, 培养学生的观察 ,探讨,研究创造能力 。

步骤 :创设问题情景 ,激发主动积极性;寻找问题答案 ,探讨解法;完善解答 ,总结思路;进行知识综合 ,改善问题结构 。

思考这个题目时 ,能够获得 a + b 平方公示猜想 ,进一步验证 。

 可以从几何角度面积

出发证明 ,也可以从代数角度出发证明;发现法从多个角度解决问题 ,培养灵活的思维,而灵活的思维有利于创造性 。

概念的内涵和外延

1) 内涵 :反映事物本质属性总和 。质

外延 :概念反应事物的总和 。

 量

除了要理解内涵外延 ,还要明白两者的关系 。

等腰三角形的内涵比三角形多 ;外延少 。

概念间的逻辑关系

1) 相容关系 :全同关系 ,交叉关系 (等腰三角形与直角三角形 ), 从属关系 。

不相容关系 :矛盾关系 (内涵互斥 )和对立关系 (反对关系 ,外延互斥 )

定义是揭示概念内涵的逻辑方法

被定义项 :内涵揭示的概念

定义项 :确定被定义项的概念

定义联项 :联结两者 。“是”“称为 ”

属加种差定义项 :一个和几个本质属性叫做种差 。

 两组平行的四边形叫平行四边形 。概念 =临近属概念 +种差

揭示外延定义 :a 不等于 1

描述性定义 :直接定义

数学概念的获得方式

同类事物的不同例证中 ,独立发现同类事物的关键特性 ,概念形成 。

直接展示定义 ,利用原有认知结构理解同化 。

 概念同化 。

概念教学的要求

1) 明确内涵外延和表达方式 。

 使用合适的数学语言 :符号 ,图形和图像 。

 原始概念为出发点

正确理解使用概念

了解概念关系 ,形成体系

概念教学方法 (教学设计材料分析题 ,都有优点和缺点 )

1) 认知水平和数学逻辑起点要匹配互相衔接 ,正迁移 。

创设合适的问题情景 。

 互动,学生主体

自主探究要有实际 ,素材,发挥主导作业 。

命题 :简单命题和复核命题 (逻辑关联词 )

理解命题 ,运用解决问题 ,掌握相关联系 。

命题引入 :直接引入 ,素材引入 。

证明 :思路分析;多种论证;体系化系统化;数学思想方法 。

命 的巩固离不开解 ,越多越好

大量 占用大量 ,加重 担 ,失去 趣 。

反复演 ,无暇思考 ,不利于能力提高 。

同一 型反复演 ,思 定 ,无灵活和 新 。

使用自己的 言描述理解 ,自己 出反正例 , 用加 理解 ,命 加深关系的 系理解 ,形成体系 。

策略 :整体性策略;准 性策略 (把握目 ,起点 ,模式 ); 性策略;情景化; 程化(理解 系关系体系 ); 生式 (通 是什么 什么 ,来解决怎么 )

例 明 解决 ,解决 和解答

已知三角形 180 ,求四 形 。解答 ,四 形内画三角

解决 :求四 形内角和 ,学生有各种方法

3) 解决 :学生根据四 形的方法找出 律 ,自己找出多 形内角和的方法 ,包括

,探索 ,形成 律 ,形成 。

推理教学 : 明的工具;从已知知 推出新知

包括前提和

演 , , 比推理

直接 授和 /

主 性 ,提出 。

不同思想 ,因材施教

生成性 源 ,新的思想和方法 。

理解函数 性作 目

不合适 ,无法判断学生是否理解 。

出增减函数的具体例子 ,能用函数 性定 判断一个函数

三个数学 目

密切 系 ,考 学生的 知 ,循序 ,由浅入深 ,由易到 ,由表及里; 学生步步深入 ,以达到将所理解的知 灵活运用 。

展 .. 程方法中的能力

接着出 :将常量 量 ,找三个 量的关系

例 要具有 :典型性 ,目的性 ,启 性 ,科学性 , 通性和有序性

:有助于理解 ,巩固 , 展智力 。

 目的性 ,及 性 , 次,多 和反

教科 , 程 准和学生情况的三者 一

学生自己小 :培养 能力 ,表达能力 , 学生在自己 海中思考所学内容 ,意 到自己会什么不会什么 ,加深印象 ,又 老 提供了信息 ,哪些是学生不会的 。

引入 :新旧知 ,新知 与学生水平的 接非常重要

教授 :

引 学生 , 情景

突出核心 ,重要要反复 明 , 只突出 情景 ,不突出知 的材料

要全面 , 打断 的材料

学生学 :善于思考 ,提出 , ,解决 ,学生 极性 ,合作意 ( 灌 式材料 )

关于

“”包括 程内容中的要求 。知 点包括 。。。。。。

  要求全面 。

体 学生 数感 ,符号 ,运算 ,推理 考 ,包含 “” 算 , 律的 用和 明 ,可 系 生活

型多 化 ,合理,有 , 明 , 算 ,解答 。

考 学生学 程 , 度,区分度 ,掌握程度 。

概念的与其他的内容关系 :内部 用和外部 用 。例如 增内部 用 :定 域 ,最大

最小 等;外部 , 明不等式 ,数列性 等的 用

概念的研究方法 :定 法和 数法 。找相关利用概念

概念 :人 客 事物数量关系 ,空 形式本 属性的反 。引入概念要恰当 ,明确内涵

外延 ,表达准确 ,即 巩固 。

数学科学内涵 :数学的方法意 知 等 。

授法 :将思想 穿其中 ,引 迁移分 ,接受新知 解决

法 :学生主体 ,主 性 极性 , 散思

学生 后的知道

原知 生 展 程 :算理和理解

原 原因根源 ,学生的思考 程 ,后 改 教学 。

真研究学生 , 知水平 ,学生 ,此 段的容易 的思想是

两个老 ,一个按照 知水平一步一步搭台 ,引 学生思考 ,一个直接 学生 出不合

适学生思 水平 ,只 学生主体地位 ,没有 老 的引 地位 。

性与量力性 合 ,出了两次了 。

三 目 :

知 技能 :理解 。。。, 会使用 ?..分析 / 解决 / 画出 ?..

程与方法 :通 ,探索 ., 展推理能力

情感 度 :在合作探索中 , 数学的作用 ,快

教育 段数学目 4 基:基本知 (概念,性 ,法 ,公示), 技能(运算 , , 量 ), 思想(建模 ,推理和抽象 ), 活 。

 体会数学知 之 ,数学与其他学科之 ,与生活之 系 ,运用思 行思考 ,增加 分析解决 能力;了解数学价 ,提高 趣 ,增 学数学的信心 ,养成 ,具有初步 新和 事求是的意 。

初中 段数学目

知 技能 : 数与代数的抽象 ,运算建模 程 ,掌握代数基本知 和技能 ;

像的抽象 ,分 ,性 探 ,运 ,位置等 程 ,掌握几何基本知 和技能

的数据收集 理 ,分析数据 , 取信息 ,掌握 与概 的基本知 和技能

参与 合 践活 , 累运用数学知 解决 的 。

2) 数学思考 :建立数感 ,符号意 ,空 念 ,初步形成几何直 和运算能力

, 展抽

象思 和形象思 ;体会 方法的意 , 展数据分析 念

,感受随机 象 ;在参

与 察 ,,猜想 明等活 中

, 展合情推理和演 推理

,清晰表达自己想法

学会独立思考 ,体会基本思想的思

3) 解决 :初步学会从数学的角度 提出

,解决 ,增 用数学的 践意

;或份 分析解决 的基本方法

,体 多 性 , 展 新意 ;学会交流 ,初步

学会 价和反思 。

情感 度 : 极参与活 , 数学有好奇心和求知欲;学 程中 ,体 成功的 趣 , 克服困 的意志信心;体会数学特点价 ;养成 真勤 ,独立思考 ,交流合作 ,反思 疑等学 ; 持真理 ,修正 , 求 的科学 度 。

总体目标由学段目标来体现 。

建立数感 :数量 ,关系 , 果估算的感悟

符号意 :理解用符号表示数 ,关系, 律;符号用于推理运算 , 具有一般性

3) 空 念 :根据物体抽象出几何 ,根据几何想象出物体 ,方位 ,位置 ,运 ,依据

言画出

几何直 :使用 像描述和分析

数据分析 :,分析数据 ,找到 律

运算能力 :根据法则和运算规律正确运算

推理能力 :合情推理和演绎推理 。

 合情推理 :从已知事实出发 ,运用经验和知觉进行

归纳和类比判断;演绎推理 :从已知事实和规则出发 ,按照逻辑推理的法则进行证明和计算

8)



模象思想 :体会和理解数学与外部世界联系的途径 :抽象数学问题 ,符号建立变化规

律;求出结果讨论意义 。

应用和创新意识 :有意识的运用数学 ,认识现实存在的大量数学问题 。基本任务

初中课程内容

数与代数 :概念 ,运算 ,估计 ,字母表示 ,代数式 ,方程,方程组 ,不等式 ,函数等

图形与几何 :几何性质 ,变化 (轴对称 ,中心对称 ,旋转等 ), 坐标

统计与概率 :核心是分析数据 。

 分析过程 ,方法 ,体会随机性 。

综合实践 :问题载体 ,自主参与学习

教学中关系

预设与生成

面向全体与差异

合情与演绎推理

信息技术与教学手段多样化关系

数学教学原则

抽象与具体结合 :感知具体形成表象 ,引导形成抽象思维 ,正确的判断 ,推理概念等

严谨性于量力性结合 :钻研教材;逐步教授;培养学生言必有据 ,思考缜密 ,思路清晰的良好思维;研究学生 。

理论实际结合 :

巩固法则结合 :符合数学实际 ,符合学生心理 ,新旧知识联系 (清晰的逻辑联系 ,认知结构完整层次分明条理清楚 )能力发展 。

凯洛夫的组织教学

组织教学 :导入

复习提问

讲授新课

巩固新课

布置作业

考试中课堂包括

导入

新课

巩固新知

课堂练习

反思 :有什么收获

布置作业

学习数学某个方面必要性学习数学某个方面可能性理等能力 。

初中数学常用的数学思想



:科技发展 ,行业应用 ,基本素质 ,时代要求 。

:已具有运算知识 ,生活相关 ,计算机不陌生 ,具有一定分析 / 推

:划归与转化思想 (乘法转化为加法 ,复杂问题转换为简单 ,逆

运算 ,已知 ab 和 a+b, 求 ); 分类思想 (一个标准 ); 数形结合思想 ;特殊与

一般思想 (类比 ,归纳,演绎 ); 有限与无限思想 ;随机与必然思想 ;函数与方程思想 。

推理方法 :演绎 (一般到特殊 。由已知定理 ,性质推出特殊的事物 ), 归纳 (个别到一

般), 类比(特殊到特殊 ,由两个事物的某些相同属性推理出其他属性也相同 )

推理能力 :通过观察实验类比等获得数学信息 ,进一步寻求证据 ,给出证明或者反例 ,能

清晰逻辑的表达自己的思考过程 ,言之有理;交流时能用数学语言合乎逻辑的讨论和质疑 。

综合证明法 :已知定理调节 ,推断结论 P?Q1 ?Q2

例如证明 a 和 b 平方和大于 2ab 。

尺规作图要求 :直尺和圆规与现实并非完全相同 ,带有想象性质 。直尺没有限度 ,无限长 ,

没有刻度 ,只能连接两个点 。圆规可以展开无限宽 ,没有刻度 ,只可以构造之前构造的长

度。

几何研究方法 :综合几何方法 ,解析几何方法 ,向量几何方法 ,函数方法 。

综合几何方法 :利用已知基本图形性质研究复杂图形性质 ,基本图形的转化 ,平移 ,对称

的手段 。

解析几何 :笛卡尔 、费马 。

 由代数方法研究几何对象关系和性质 ,坐标几何 。

向量几何 :用向量来讨论空间平面和几何问题

古希腊三大问题 , 19 世纪被证明是不可能用尺规完成的 。

1) 立方倍积问题 :求做立方体的体积是已知立方体两倍的边长 。

化圆为方问题 :圆面积 =方面积 ,画方

三等分角

50m 围长方形 ,面积最大的 。

 讲解的层次 。

理解题目 ,提出策略 ,进行画图

列举满足条件的特殊值 ,列表排序

找规律

给予验证

鼓励发现和提出一般性问题 ,例如长宽变化不限于整数

命题引入方式

观察实验

观察归纳

实际需要

矛盾

加强或者削弱条件引入

数学题目

函数单调性 : a>b,f(a)>f(b);或者使用导数是否大于 0;函数奇偶性

Xo 导数的意义 :斜率 ,对应的切线方程 y-yo=f ’(xo) ×(x-xo) S= ∑an 收敛半径 r=|a(n+1)/a(n)| , a( n )不是 1/n 形式都收敛

常见函数导数 :

(Xn )’=n X n-1

(ax)’= a x lna

(log a x)’=

(fg )’=fg ’+f ’g

洛必达法则 :分子分母的值趋于无穷大或者 0 ,则极限



的导数

的导数

求最大值 ,则找导数为 o 的 。

柯西不等式 :

>(a 2+ b 2 ) (x 2+ y 2 )

2xy

: 于任意 δ>0 ,存在 ε>0,x - xo< ε,存在 fx -fx0< δ

离散事件 ,a1, a2 ,an 。

 每次事件等于 ai 的概率 pi 。

 数学期望 E。

  个离散事件的方

差 :

:既 明 f ( x) =f ( x0)在 x 向 xo。

 既相减 0

可 :首先 明存在 ,第二 x 向 xo 正和 的 候 ,分 数等于 xo 数

拉格朗日中 定理 :ab 区 可到 ,f ( a) =f ( b)中 一定有一个点 数 0

利用拉格朗日中 定理解 :构造函数 g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) 。

 g(a)=g(b)=0

定律 :函数 可 ,有两个 x 的 相等 , 两个 x 中 有一个点 数 0

明 数 =某个 的都可以使用 个 的定律完成 明

f(x)在某个域可 。

 f(1)=f(0)+2 , 明存在 f(x) 数= 2

取 F(x)=f(x) - 2x, 可 。

  F(0)=f(0) 。F(1)=F ( 1 )- 2= f(0)=F(0)

根据 定律存在 F(x)的 数 0

拉格朗日微分中 定理

4) 函数在 区 ,开区 可 , 存在 ab 区 的数使期 数等于 v=f ( b ) -f(a)/

( b- a)

利用 定理 明 。

 定 g ()= f- f (a)- v(x-a)

同 可以利用 fx 个不同的 x 的



F( x)的 数 ,找到和 目形式 y 相等 , f ( x)= 0 肯定有根



f( x), 的



F(x), 明出



F 有两

F(x,y)是线性空间的证明

唯一性 : f ( x,y)唯一

2) 封闭性 :交换律 ,存在零元素 X+Q=X; 负元素 T-T=Q ,这里 Q 可以表示任意符合 f(x ,

中的东西 ,例如 1/X; 结合律;恒等率 ,找到一个 “1”的表达式使 “1”* f(x , y) =f(x , y)

等比数列和 Sn=a1(a-q n)/(1-q)

空间站点到面 Ax+By+Cz+D=0 的距离

|Ax0+By0+Cz0+D| ÷ ( )

F(x,y)在 Ax+ b 变换下的方程 。

=A + b 。

  解除 x1 与 x 的关系式

将 X= g (x1)带入 f( xy)求出变换方程

不收敛 。

 S(2n )- s( n )的极限是 0.5 不是 0

X1+ax2+bx3+dx4=0 通解

列矩阵 ,化为最小秩矩阵

列方程 ,取值解除基础解系 α1, α2

通解 x=k1 α1+K2 α2

选择合适的方式

变异系数 :便准差 / 均值 。

 哪个越小 ,分布约集中 。便准差等于方差开根号 。

38 分钟内送到 ,选一个 。哪个概率高选哪一个 。

正态分布

期望

期望

期望

P(t<38)=P(

)= φ(

)。

 这个值越大 ,概率越高 .φ为标准正态分布

标准差

标准差

标准差

函数

离散分布 :方差 D=ss= ∑Pi(xi-E ) 2。

 期望 E=∑PiXi/n 。s 为标准差

AB 不相关 。

 P(AB 既两个都发生的概率 )=P(A)P(B)

[ ]=A 求 Aa 属于 r3 的正交基

初等变换看秩是几 ,就选几个不同的 a。

 这里是 2

A1=[1 ,1 , 3]T

A2 = [2, 2 , 4]T

施密特正交化 :

B1=A1

6)

B2= A2 -

7)

如果有 B3 = A3 -

--

甲乙两个队 ,甲 3 个红色球 ,乙 6 个球,三红三绿 ,乙里面随便拿三个与甲组成丙

,从丙

里选三个球 ,第一个是绿色的概率是多少

第一 :乙选 3

个可能有绿色

1 , 2 ,3 概率分别为

绿色 1

个:

绿色 2

个:

绿色 3

个:

第二 :混合后里面分别可能有

1, 2, 3 个绿 。

 第一个是绿的概率分别

混合后有一个 ,第一个为绿 :

混合后有

2 个,第一个为绿 :

混合后有

3 个,第一个为绿 :

第三 :最终概率 :=

箱子里 20 个,含 0, 1 , 2 残次品概率 0.8, 0.1,.0.095. 顾客随便抽四个 ,没有残次品就买

下。买下箱子的概率 。买下后无残次品概率 。

买下概率 :

a) 无残次品买下 。

 0.8.

有一个没有抽到买下 : 0.1×。

有 2 个没有抽到买下 : 0.095 ×

则买下概率为上面三个加起来 。0.94

买下后无残次品概率极为第一种情况 。

 那么就是 0.84/0.94

正态分布也叫高斯分布 。标准正态分布 ,平均数为 0 ,标准差为 1.可以用 Y=( x-μ)/ σ

来变换为正态分布 。其概率密度函数为 :



( )

( )

σ

.。

 峰值就是均数量 。对称 。

σ

P(|x-u|< σ)=2 φ(1)-1 P (|x-u|< σ)=2 φ(2)-1

a>0:P ( x-u<a ) = φ(a/ σ); P (x-u>a ) =1- φ(a/ σ)

a<0: P ( x-u<a ) =1- φ(|a/ σ|); P ( x-u>a ) = φ(|a/ σ|)

f(x)密度图 :

概率密度图 。

 其积分为 φ(X),为概率 。φ(X) =

标准正态分布全部积分为 1.

知道三点 abc 求面 :面方程 Ax+By+Cz+D=0 带入求 。

Ab 向量 = ai+ bj+ ck

Ac 向量 = oi + mj + nk

面法向向量 : Ab ×Ac = =si+rj+tk

面方程 s(x-x0 ) +r(y-y0)+t(z-zo)=0

Sin(a+b)=sina



×cosb+cosa



×sinb

Cos(a+b)=cosa



×cosb-sina



×sinb

正弦定理 :a/sina=b/sinb=c/sinc=2R

三角形中 :abc 变成的关系和对应的



外接圆半径

sin 角度关系对应 ,例如

sinA=sinB*sinC



。对应



a=bc

余弦定理 :aa=bb+cc-2sinAbc

a.b=|a||b|cos<a,b>=xa*xb+ya*yb 点乘是余弦 ,是一个数

|a×b|=|a||b|sin<a,b> ×乘是正弦 ,ab 组成的平行四边形面积



,方向为从



a 到



b 的右手螺旋



是一个矢量

Ab 向量平行 ,则 xa* yb +ya* xb=0 ,两个斜率相等 ,垂直 xa*xb+ya*yb=0 ,斜率相乘 =-

1

点到线的距离 d=|Axo+Byo+C|/ , 点( xo,yo )面 Ax+BY+C=0

椭圆 : aa=bb+cc, 离心率 e=c/a 小于 1

双曲线 : cc=aa+bb, 离心率大于 1 ,渐近线 : y=bx/a

抛物线 yy=2px ,焦点 ( p/2,0 )准线 x=-p/2 抛物线点到焦点和准线距离相等 =x+ p/2

抛物 焦点弦 :x1+X2+p

明平行方法 :三角形中位 ,平行四 形 。

明平面平行 :面内 两个交 平行

明直 与面垂直 :直 与 面内 交 垂直

面 :Πrl , r 底面半径 , l 斜

球体体 4Πrrr/3 面 4Πrr

循 小数化分数 0.31 ,其中 31 循

×100=31.

-0. =31=99 ×

泰勒展开

ex=1+ +

ln(1+x)=X + X 向与 0 , ln(1+x) 的极限 =x

+

(1+x) n=1+nx+

sinx=X- + 向与 , 的极限

cosx=1- +

矩 相似 :所有特征 相同 A=C -1BC

矩 合同 :A=C TBC。等秩 ,正 性指数相同 (特征 正 的个数 )

X2/a 2 + Y 2/b 2 + z 2/c 2=1 : 球

X2/a 2 + Y 2/b 2 - z 2/c 2 =1 : 叶双曲

X2/a 2 - Y2/b 2 - z 2/c 2 =1 双叶双曲

形与几何的九条基本事

两点之 直 最短

两点确定一条直

一点有且只有一条直 与 条直 垂直

直 外一点有且只有一条直 与 条直 垂直

两条直 被第三条直 所截 ,如果同位角相等 ,平行

两 及两 角相等的三角形全等

两角及 角 相等的三角形全等

三 相等的三角形全等

两条直线被一组平行线所截 ,对应线段成比例

1) 基 a1,a2,a3,a4 到基 b1,b2,b3,b4 的过渡矩阵 。A =[a1,a2,a3,a4] A=QB ,可求出 A 过

渡矩阵 。

一组基 X 在后一组基 Y 的坐标 :X=AY 。进一步求出 Y= A(-1)X 的表达式 ,就是坐标 。

两个基相同坐标向量 ,那么 Y= X= A(-1)X ,可解得 X 的特殊值 x1,x2,x3,x4

前面成立则后面一定成立是充分条件 ;后面成立前面一定成立是必要条件 。

初中数学代数知识点总览 :数的分类;数轴;绝对值;几个非负数;整数指数幂;一元一

次方程;一元二次方程;分式方程;二元一次方程组 。

一、数的分类

其中 :有理数 (即可比数 )即有限小数或无限循环小数 ;无理数即无限不循环小数 。

二、 数轴

三要素 :原点、正方向 、单位长度 。

实数 数轴上的点 。

利用数轴可比较数的大小 ,理解实数及其相反数 、绝对值等概念 。三、 绝对值

(1) 几何定义 :数轴上 ,表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 ,记做 。

代数定义 : = 四、 相反数 、倒数

(1)a、 b 互为相反数 a+b=0( 或 a=-b);

(2)a、 b 互为倒数 · = (或 a= ) 。

五、几个非负数

( ) ≥ ;

( ) ≥ ;

( ) ≥ ( ≥ ) 。

若几个非负数之和为 0,则这几个非负数也分别为 0.

六、

(1)a n 叫做 a 的 n 次幂,其中, a 叫底数 ,n 叫指数 。

(2) 若 = ( ≥ )则,x 叫做 a 的平方根 ,记做 ± 算;术平方根记做 。

若 x =a ,则 x 叫做 a 的立方根 ,记做 。因此 =a

算术平方根性质 :

① ( ) = ( ≥ );

= ;

( ≥ , ≥ );

④ ( ≥ b>0), 。

八、运算顺序 :

同 级:左 →右

不同级 :高 →低 (先乘方和开方 ,再乘除 ,最后加减 )

有括号 :里 →外 (先去小括号 、再去中括号 、最后去大括号 )

九、运算律 :

十一 、 a>0

(-a) 2n +1 = - a 2n +1

(-a) 2n = a 2n

十二 、有理式

有理式 (2) 乘法公式

平 方 差: (a+b)(a — b)= a 2 - b 2

完全平方 : ( ± ) = ± +

分式的基本性质 :

( 用于通分 )= ( 用于约分 )( ≠ )

十三 、整数指数幂

(1)

零指数幂 = (

≠ 负);指数幂 a - = (

≠ n,为正整数 );

(2)

幂的乘方 :① a m a n=a m +n(a>0

, m 、n 为整数 );

② (a m) n =a m n(a>0 , m 、 n 为整数 );

③ (ab) n =a nb n(a>0 , b>0 , n 为整数 )。

第二章 方程与不等式

一、一元一次方程

(1) 一元一次方程 :变形后可化为 = ( ≠的形)式 ,它的解为 x = 。

解一次方程的一般步骤 :① 去分母 ;② 去括号 ;③ 移项 ;④ 合并同类项 ;⑤ 系数化为 1。

二、一元二次方程

(1) 一元二次方程 :变形后可化为 + + = ( 的形≠式 ,)

它的根为 x = (b 2 - ≥ ) ,(即求根公式 )。

解二次方程的常用解法 :① 求根公式法 ;② 因式分解法 ;③ 配方法 。

根的判别式 :⊿=b 2 -4ac

当 b 2 -4ac >0

时,方程有两个不等实数根

;

当 b 2 -4ac =0

时,方程有两个相等实数根

;

当 b 2 -4ac <0

时,方程没有实数根 。

(4) 韦达定理 :形如 x 2 + p x +q =0

,当 p 2 - q

≥ 时,设这个方程的两实数根为

x1、

x2,则有 x1+ x2=-p , x1x2=q 。

三、分式方程

分式方程 :分母中含未知数的有理方程 。

解分式方程的实质 :去分母 (两边乘方程中各分式的最简公分母),转化为整式方程来解 。

注意:有时会产生增根 ,必须验根 。

四、二元一次方程组

(1) 基本思路 :通过 “消元 ”,转化为一元一次方程来解 。

常用解法 :① 代入消元法 ;② 加减消元法 。

(3) 以二元一次方程组的解为坐标的点组成的图象是一条直线 。

五、 (1)不等式 :用不等号 (> , < ,≥,≤,≠)表示不等关系的式子 。

不等式基本性质 :

①如果 a >b ,那么 a + c >b + c ,a — c >b — c ;

②如果 a >b ,并且 c >0 ,那么 a c >b c , > ;

③如果 a >b ,并且 c<0 ,那么 a c

解一元一次不等式的一般步骤 :① 去分母 ;② 去括号 ;③ 移项 ;④ 合并同类项 ;⑤ 系数化为

1(此步骤要注意不等号可能变方向 )。

六、一元一次不等式组的解集 :(设 a

①不等式组 的解集是 x >b;

②不等式组 的解集是 x

③不等式组 的解集是 a < x

④不等式组 无解 。

本文标题:教师资格考试中学数学学科学习知识
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